Soal OSN Matematika dan Pembahasan

Soal dan Pembahasan Matematika

Soal 1: Tiga bilangan berurutan jumlahnya 54. Hasil kali tiga bilangan tersebut adalah.... +

Pembahasan:

Misalkan ketiga bilangan berurutan tersebut adalah n-1, n, dan n+1.

Jumlah ketiga bilangan:

(n-1) + n + (n+1) = 54

3n = 54

n = 54 / 3

n = 18

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 17, 18, dan 19.

Hasil kali ketiga bilangan:

17 x 18 x 19 = 5814

Hasil kali tiga bilangan tersebut adalah 5814.

Soal 2: Desimal ke-2011 ketika 1/13 diekspresikan dalam bentuk desimal ialah... +

Pembahasan:

Kita bagi 1 dengan 13:

1 / 13 = 0.076923076923...

Perhatikan bahwa desimalnya berulang dengan panjang periode 6 digit, yaitu 076923.

Untuk mencari desimal ke-2011, kita bagi 2011 dengan panjang periode (6):

2011 / 6 = 335 sisa 1

Ini berarti angka ke-2011 adalah angka pertama dalam periode yang berulang.

Jika kita hitung dari digit pertama (angka 0 setelah koma):

• Digit ke-1: 0
• Digit ke-2: 7
• Digit ke-3: 6
• Digit ke-4: 9
• Digit ke-5: 2
• Digit ke-6: 3

Jadi, digit ke-(6k+1) adalah 0, digit ke-(6k+2) adalah 7, dan seterusnya.

2011 = 6 x 335 + 1.

Maka digit ke-2011 adalah digit pertama dalam periode, yaitu 0.

Desimal ke-2011 adalah 0.

Soal 3: Bilangan Antik adalah bilangan empat digit yang semua angkanya berbeda dan mempunyai sifat jumlah dua angka pertama sama dengan jumlah dua angka terakhir. Contoh 3461 adalah bilangan Antik. Berapa banyak bilangan di antara 1.000 dan 1.500 yang mempunyai sifat seperti itu? +

Pembahasan:

Misalkan bilangan empat digit tersebut adalah abcd, di mana a, b, c, d adalah digit-digit yang berbeda.

Kita tahu 1000 < abcd < 1500.

Ini berarti digit pertama a bisa 1.

Jika a=1, maka bilangan tersebut berbentuk 1bcd.

Sifat bilangan Antik: a+b = c+d.

Karena a=1, maka 1+b = c+d.

Kita harus mencari kombinasi b, c, d yang berbeda dari 1 dan dari satu sama lain, serta memenuhi 1+b=c+d.

Digit b bisa 0, 2, 3, 4. (Karena abcd < 1500, digit b tidak bisa 5 atau lebih).

Kasus 1: b=0

1+0 = c+d --> c+d=1. Digit yang sudah dipakai adalah 1, 0. Digit yang tersedia adalah 2, 3, ..., 9. Tidak ada pasangan c, d yang berbeda dari digit yang sudah dipakai dan jumlahnya 1. Jadi, tidak ada solusi.

Kasus 2: b=2

1+2 = c+d --> c+d=3. Digit yang sudah dipakai adalah 1, 2. Digit yang tersedia (selain 1 dan 2) adalah 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pasangan (c,d) yang jumlahnya 3 dan berbeda dari 1 dan 2:

• (0,3) dan (3,0) (digit 0,3 belum dipakai). Bilangannya: 1203 dan 1230.

Kasus 3: b=3

1+3 = c+d --> c+d=4. Digit yang sudah dipakai adalah 1, 3. Digit yang tersedia (selain 1 dan 3) adalah 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pasangan (c,d) yang jumlahnya 4 dan berbeda dari 1 dan 3:

• (0,4) dan (4,0). Bilangannya: 1304 dan 1340.
• (2,2) tidak bisa karena digit harus berbeda.

Kasus 4: b=4

1+4 = c+d --> c+d=5. Digit yang sudah dipakai adalah 1, 4. Digit yang tersedia (selain 1 dan 4) adalah 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9.

Pasangan (c,d) yang jumlahnya 5 dan berbeda dari 1 dan 4:

• (0,5) dan (5,0). Bilangannya: 1405 dan 1450.
• (2,3) dan (3,2). Bilangannya: 1423 dan 1432.

Total bilangan Antik:

• Dari b=2: 2 bilangan (1203, 1230)
• Dari b=3: 2 bilangan (1304, 1340)
• Dari b=4: 4 bilangan (1405, 1450, 1423, 1432)

Jumlah total: 2+2+4 = 8 bilangan.

Ada 8 bilangan Antik di antara 1.000 dan 1.500.

Soal 4: Joko tidur dari pukul 9.20 tadi malam dan bangun tadi pagi pukul 4.35. Ia tidur selama .... +

Pembahasan:

Pukul 9.20 tadi malam berarti pukul 21.20 WIB.

Waktu tidur dari pukul 21.20 sampai tengah malam (24.00):

24.00 - 21.20 = 2 jam 40 menit.

Waktu tidur dari tengah malam (00.00) sampai pukul 04.35:

4 jam 35 menit.

Total waktu tidur:

(2 jam 40 menit) + (4 jam 35 menit)

= 6 jam 75 menit

75 menit = 1 jam 15 menit

= 6 jam + 1 jam 15 menit

= 7 jam 15 menit.

Joko tidur selama 7 jam 15 menit.

Soal 5: Nomor urut peserta OSN matematika terdiri atas 3 angka. Salah satu peserta OSN matematika bernama Rita lupa nomor urutnya, tetapi Rita masih ingat bahwa perkalian dari tiga angkanya adalah 224 dan penjumlahan dari ketiga angkanya adalah 19, dan merupakan bilangan terbesar yang mungkin. Maka, nomor urut Rita adalah .... +

Pembahasan:

Misalkan nomor urut Rita adalah abc, di mana a, b, c adalah digit-digit dari 0 sampai 9. Kita punya dua persamaan:

1. a x b x c = 224
2. a + b + c = 19

Kita mencari bilangan terbesar yang mungkin, berarti kita ingin digit pertama (a) sebesar mungkin.

Faktorkan 224:

224 = 2 x 112

= 2 x 2 x 56

= 2 x 2 x 2 x 28

= 2 x 2 x 2 x 2 x 14

= 2^5 x 7

= 32 x 7

Kita harus mencari tiga digit (a, b, c) yang perkaliannya 224 dan jumlahnya 19.

Karena kita ingin bilangan terbesar, mari kita coba a yang besar.

Jika a=9, maka b x c = 224 / 9 (bukan bilangan bulat).

Jika a=8, maka b x c = 224 / 8 = 28.
Sekarang kita cari b, c yang perkaliannya 28 dan 8+b+c = 19 \Rightarrow b+c=11.

Pasangan (b,c) yang perkaliannya 28:

• (4,7) atau (7,4). Cek jumlahnya: 4+7=11. Ini cocok!

Jadi, digit-digitnya adalah 8, 4, 7.

Kita ingin bilangan terbesar, jadi susun digit-digit ini dari yang terbesar:

Nomor urut Rita adalah 874.

Cek kembali:

• Perkalian: 8 x 7 x 4 = 56 x 4 = 224 (benar)
• Penjumlahan: 8 + 7 + 4 = 15 + 4 = 19 (benar)

Nomor urut Rita adalah 874.

Soal 6: Hanung is driving a car with an average speed of 60 km/hour. She takes a distance of 360 km. If she left at 05.00 WIB, at what time she will be arrived at her destination? +

Pembahasan:

Given:

• Average speed (v) = 60 km/hour
• Distance (d) = 360 km
• Departure time = 05.00 WIB

Formula for time (t) is: t = d / v

t = 360 km / 60 km/hour

t = 6 hours

Arrival time = Departure time + Travel time

Arrival time = 05.00 WIB + 6 hours

Arrival time = 11.00 WIB

Hanung will be arrived at her destination at 11.00 WIB.

Soal 7: Banyaknya pasangan 3 bilangan prima yang jumlahnya 52 adalah... +

Pembahasan:

Misalkan ketiga bilangan prima tersebut adalah p_1, p_2, p_3.

Kita tahu p_1 + p_2 + p_3 = 52.

Karena 52 adalah bilangan genap, maka harus ada setidaknya satu bilangan prima genap. Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2.

Maka, salah satu bilangan prima haruslah 2. Misalkan p_1 = 2.

Sehingga, 2 + p_2 + p_3 = 52

p_2 + p_3 = 52 - 2

p_2 + p_3 = 50

Sekarang kita cari pasangan bilangan prima ganjil (p_2, p_3) yang jumlahnya 50, dengan p_2 \le p_3.

Daftar bilangan prima ganjil: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

• Jika p_2 = 3, maka p_3 = 50 - 3 = 47. (47 adalah prima). Pasangan: (2, 3, 47)
• Jika p_2 = 5, maka p_3 = 50 - 5 = 45 (bukan prima).
• Jika p_2 = 7, maka p_3 = 50 - 7 = 43. (43 adalah prima). Pasangan: (2, 7, 43)
• If p_2 = 11, maka p_3 = 50 - 11 = 39 (bukan prima).
• Jika p_2 = 13, maka p_3 = 50 - 13 = 37. (37 adalah prima). Pasangan: (2, 13, 37)
• Jika p_2 = 17, maka p_3 = 50 - 17 = 33 (bukan prima).
• Jika p_2 = 19, maka p_3 = 50 - 19 = 31. (31 adalah prima). Pasangan: (2, 19, 31)
• Jika p_2 = 23, maka p_3 = 50 - 23 = 27 (bukan prima).

Jika p_2 lebih besar dari 25, maka p_3 akan lebih kecil dari p_2, yang sudah kita cakup. Jadi kita hanya perlu memeriksa hingga p_2 \le 25.

Pasangan 3 bilangan prima yang jumlahnya 52 adalah:

• (2, 3, 47)
• (2, 7, 43)
• (2, 13, 37)
• (2, 19, 31)

Ada 4 pasangan.

Banyaknya pasangan 3 bilangan prima yang jumlahnya 52 adalah 4.

Soal 8: Joko tidur dari pukul 9.20 tadi malam dan bangun tadi pagi pukul 4.35. Ia tidur selama .... +

Pembahasan:

Ini adalah soal yang sama dengan soal nomor 4. Pembahasan akan sama.

Pukul 9.20 tadi malam berarti pukul 21.20 WIB.

Waktu tidur dari pukul 21.20 sampai tengah malam (24.00):

24.00 - 21.20 = 2 jam 40 menit.

Waktu tidur dari tengah malam (00.00) sampai pukul 04.35:

4 jam 35 menit.

Total waktu tidur:

(2 jam 40 menit) + (4 jam 35 menit)

= 6 jam 75 menit

75 menit = 1 jam 15 menit

= 6 jam + 1 jam 15 menit

= 7 jam 15 menit.

Joko tidur selama 7 jam 15 menit.

Soal 9: Nomor urut peserta OSN matematika terdiri atas 3 angka. Salah satu peserta OSN matematika bernama Rita lupa nomor urutnya, tetapi Rita masih ingat bahwa perkalian dari tiga angkanya adalah 224 dan penjumlahan dari ketiga angkanya adalah 19, dan merupakan bilangan terbesar yang mungkin. Maka, nomor urut Rita adalah .... +

Pembahasan:

Ini adalah soal yang sama dengan soal nomor 5. Pembahasan akan sama.

Misalkan nomor urut Rita adalah abc, di mana a, b, c adalah digit-digit dari 0 sampai 9. Kita punya dua persamaan:

1. a x b x c = 224
2. a + b + c = 19

Kita mencari bilangan terbesar yang mungkin, berarti kita ingin digit pertama (a) sebesar mungkin.

Faktorkan 224:

224 = 2 x 112 = 2 x 2 x 56 = 2 x 2 x 2 x 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 14 = 2^5 x 7 = 32 x 7

Kita harus mencari tiga digit (a, b, c) yang perkaliannya 224 dan jumlahnya 19.

Karena kita ingin bilangan terbesar, mari kita coba a yang besar.

Jika a=9, maka b x c = 224 / 9 (bukan bilangan bulat).

Jika a=8, maka b x c = 224 / 8 = 28.
Sekarang kita cari b, c yang perkaliannya 28 dan 8+b+c = 19 \Rightarrow b+c=11.

Pasangan (b,c) yang perkaliannya 28:

• (4,7) atau (7,4). Cek jumlahnya: 4+7=11. Ini cocok!

Jadi, digit-digitnya adalah 8, 4, 7.

Kita ingin bilangan terbesar, jadi susun digit-digit ini dari yang terbesar:

Nomor urut Rita adalah 874.

Cek kembali:

• Perkalian: 8 x 7 x 4 = 56 x 4 = 224 (benar)
• Penjumlahan: 8 + 7 + 4 = 15 + 4 = 19 (benar)

Nomor urut Rita adalah 874.

Soal 10: Seekor kambing diikat pada sebuah tiang di lapangan berumput dengan tali yang panjangnya 7 m. Tentukan luas daerah yang dapat dijadikan tempat kambing memakan rumput! +

Pembahasan:

Kambing yang diikat pada sebuah tiang dengan tali akan bergerak dalam area berbentuk lingkaran. Panjang tali adalah jari-jari lingkaran (r).

Panjang tali (r) = 7 m.

Luas daerah yang dapat dimakan kambing adalah luas lingkaran dengan jari-jari 7 m.

Rumus luas lingkaran (A) adalah A = pi x r².

Menggunakan pi = 22/7

A = 22/7 x (7 m) x (7 m)

A = 22/7 x 49 m²

A = 22 x 7 m²

A = 154 m²

Luas daerah yang dapat dijadikan tempat kambing memakan rumput adalah 154 m².