Soal & Pembahasan Deret Aritmatika Kelas 5

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah suatu urutan bilangan yang memiliki pola pertambahan atau pengurangan yang tetap. Dalam deret aritmatika, setiap suku diperoleh dengan menambahkan atau mengurangi suatu bilangan tetap yang disebut beda (b) terhadap suku sebelumnya.

Rumus Deret Aritmatika

• Suku ke-n dalam deret aritmatika:

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">U</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">a</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">b</span>}U\_n\; =\; a\; +\; (n-1)\; \backslash cdot\; b$$

di mana:

• $U_{n}U\_n$ = suku ke-n

• $aa$ = suku pertama

• $bb$ = beda (selisih antar suku)

• $nn$ = jumlah suku

• Jumlah n suku pertama dalam deret aritmatika:

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">S</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">a</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">b</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span>S\_n\; =\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash times\; (2a\; +\; (n-1)\; \backslash cdot\; b)$$

di mana $S_{n}S\_n$ adalah jumlah dari n suku pertama.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Contoh Soal LOTS (Lower Order Thinking Skills)

Soal: Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama $a=5a\; =\; 5$ dan beda $b=3b\; =\; 3$. Tentukan suku ke-6!

Pembahasan: Gunakan rumus suku ke-n:

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">U</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">6</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">5</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">6</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">3</span>}U\_6\; =\; 5\; +\; (6-1)\; \backslash times\; 3$$

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">U</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">6</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">5</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">15</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">20</span>}U\_6\; =\; 5\; +\; 15\; =\; 20$$

Jawaban: Suku ke-6 adalah 20.

2. Contoh Soal MOTS (Middle Order Thinking Skills)

Soal: Diketahui suatu deret aritmatika dengan suku pertama 7 dan beda 4. Hitunglah jumlah 10 suku pertama!

Pembahasan: Gunakan rumus jumlah n suku pertama:

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">S</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">10</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">10</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">2</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">7</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">10</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">4</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span>S\_\{10\}\; =\; \backslash frac\{10\}\{2\}\; \backslash times\; (2\; \backslash times\; 7\; +\; (10-1)\; \backslash times\; 4)$$

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">S</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">10</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">5</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">14</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">36</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span>S\_\{10\}\; =\; 5\; \backslash times\; (14\; +\; 36)$$

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">S</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">10</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">5</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">50</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">250</span>}S\_\{10\}\; =\; 5\; \backslash times\; 50\; =\; 250$$

Jawaban: Jumlah 10 suku pertama adalah 250.

3. Contoh Soal HOTS (Higher Order Thinking Skills)

Soal: Ani ingin mengumpulkan 100 kelereng dalam pola deret aritmatika. Jika jumlah kelereng bertambah 4 setiap minggu dan minggu pertama ia memiliki 6 kelereng, pada minggu ke berapa ia akan mencapai 100 kelereng?

Pembahasan: Gunakan rumus suku ke-n:

$${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">U</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">6</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">4</span>}U\_n\; =\; 6\; +\; (n-1)\; \backslash times\; 4$$

Cari $nn$ saat $U_n=100U\_n\; =\; 100$:

$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">100</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">6</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">+</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">4</span>}100\; =\; 6\; +\; (n-1)\; \backslash times\; 4$$

$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">100</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">6</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">4</span>}100\; -\; 6\; =\; (n-1)\; \backslash times\; 4$$

$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">94</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">)</span><span\; style="font-family:\; Roboto;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">4</span>}94\; =\; (n-1)\; \backslash times\; 4$$

$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">n</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">1</span>}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">94</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">4</span>}}<span\; style="font-family:\; Roboto;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Roboto;">23.5</span>}n-1\; =\; \backslash frac\{94\}\{4\}\; =\; 23.5$$

Karena $nn$ harus berupa bilangan bulat, Ani perlu menunggu minggu ke-24 untuk mencapai lebih dari 100 kelereng.

Jawaban: Pada minggu ke-24 jumlah kelerengnya lebih dari 100.

Demikian rangkuman materi tentang Deret Aritmatika Kelas 5 SD: Rumus, Contoh Soal & Pembahasannya.

Cek latihan soal tentang deret aritmatika atau soal interaktif deret aritmatika untuk melihat tingkat pemahaman kalian.